jax.scipy.linalg.solve_sylvester#

jax.scipy.linalg.solve_sylvester(A, B, C, *, method='schur', tol=1e-08)[source]#

求解 Sylvester 方程 .. math

AX + XB = C

使用两种方法之一。

  1. Bartell-Stewart (schur) 算法（默认）[仅限 CPU]

其中 A 和 B 首先通过 Schur 分解进行分解，以构造一个交替的 Sylvester 方程：.. math

RY + YS^T = F

当 A 和 B 为实值时，R 和 S 为拟三角形式；当 A 和 B 为复值时，R 和 S 为三角形式。

  1. 特征值分解算法 [CPU 和 GPU]

参数:

  • A (ArrayLike) – 形状为 m x m 的矩阵

  • B (ArrayLike) – 形状为 n x n 的矩阵

  • C (ArrayLike) – 形状为 m x n 的矩阵

  • method (str) – “schur”是默认值，准确但速度慢；“eigen”是替代方法，速度更快但对于病态矩阵精度较低。

  • tol (float) – A 和 B 的特征值之和接近零的程度，超过该值将返回 NaN 矩阵。

返回:

形状为 m x n 的矩阵

返回类型:

X

示例

>>> A = jax.numpy.array([[1, 2], [3, 4]])
>>> B = jax.numpy.array([[5, 6], [7, 8]])
>>> C = jax.numpy.array([[6, 8], [10, 12]])
>>> X = jax.scipy.linalg.solve_sylvester(A, B, C)
>>> print(X) 
[[1. 0.]
 [0.  1.]]

注意事项

Bartel-Stewart 算法之所以健壮，是因为 Schur 分解始终存在，即使对于缺陷矩阵也是如此，并且它比特征值分解方法能更好地处理复数和病态问题。然而，也有一些缺点。首先，它比特征值分解方法计算成本更高，因为你需要执行 Schur 分解，然后扫描整个解矩阵。其次，与特征值分解方法相比，它需要更多的系统内存。

特征值分解方法是求解 Sylvester 方程的最快方法。然而，这种速度也带来了一些缺点。首先，A 和 B 必须是可对角化的，否则特征向量将是线性相关的且病态，导致精度问题。其次，当特征向量不正交时，舍入误差会被放大。

此外，对于复数类型，随着矩阵尺寸的增加，结果的精度会下降。Float64 类型对这种退化最稳健。

tol 参数允许你指定矩阵可以病态到何种程度仍然可以估计一个解。对于病态矩阵，我们建议使用 float64 而不是默认的 float32 数据类型。求解器仍然可以根据 A 和 B 的特征值之和接近零的程度，为病态矩阵提供良好的估计。