自动微分#
在本节中,你将学习关于 JAX 中自动微分(autodiff)的基本应用。JAX 拥有非常通用的自动微分系统。计算梯度是现代机器学习方法的关键部分,本教程将引导你了解一些自动微分入门主题,例如
务必查看高级自动微分教程,了解更高级的主题。
虽然理解自动微分“底层”工作原理并非至关重要(在大多数情况下使用 JAX),但我们建议你查看这个相当易懂的视频,以更深入地了解正在发生的事情。
1. 使用 jax.grad
求梯度#
在 JAX 中,你可以使用 jax.grad()
变换对标量值函数进行微分
import jax
import jax.numpy as jnp
from jax import grad
grad_tanh = grad(jnp.tanh)
print(grad_tanh(2.0))
0.070650816
jax.grad()
接受一个函数并返回一个函数。如果你有一个 Python 函数 f
,用于评估数学函数 \(f\),那么 jax.grad(f)
是一个 Python 函数,用于评估数学函数 \(\nabla f\)。这意味着 grad(f)(x)
表示值 \(\nabla f(x)\)。
由于 jax.grad()
对函数进行操作,你可以将其应用于自身的输出,根据需要微分任意多次
print(grad(grad(jnp.tanh))(2.0))
print(grad(grad(grad(jnp.tanh)))(2.0))
-0.13621868
0.25265405
JAX 的自动微分使得计算高阶导数变得容易,因为计算导数的函数本身是可微的。因此,高阶导数就像堆叠变换一样容易。这可以在单变量情况下说明
函数 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1\) 的导数可以计算为
f = lambda x: x**3 + 2*x**2 - 3*x + 1
dfdx = jax.grad(f)
函数 \(f\) 的高阶导数为
在 JAX 中计算其中任何一个都像链式调用 jax.grad()
函数一样容易
d2fdx = jax.grad(dfdx)
d3fdx = jax.grad(d2fdx)
d4fdx = jax.grad(d3fdx)
在 \(x=1\) 中评估上述内容将得到
使用 JAX
print(dfdx(1.))
print(d2fdx(1.))
print(d3fdx(1.))
print(d4fdx(1.))
4.0
10.0
6.0
0.0
2. 计算线性逻辑回归中的梯度#
下一个示例展示了如何在线性逻辑回归模型中使用 jax.grad()
计算梯度。首先,设置
key = jax.random.key(0)
def sigmoid(x):
return 0.5 * (jnp.tanh(x / 2) + 1)
# Outputs probability of a label being true.
def predict(W, b, inputs):
return sigmoid(jnp.dot(inputs, W) + b)
# Build a toy dataset.
inputs = jnp.array([[0.52, 1.12, 0.77],
[0.88, -1.08, 0.15],
[0.52, 0.06, -1.30],
[0.74, -2.49, 1.39]])
targets = jnp.array([True, True, False, True])
# Training loss is the negative log-likelihood of the training examples.
def loss(W, b):
preds = predict(W, b, inputs)
label_probs = preds * targets + (1 - preds) * (1 - targets)
return -jnp.sum(jnp.log(label_probs))
# Initialize random model coefficients
key, W_key, b_key = jax.random.split(key, 3)
W = jax.random.normal(W_key, (3,))
b = jax.random.normal(b_key, ())
使用 jax.grad()
函数及其 argnums
参数来区分函数相对于位置参数。
# Differentiate `loss` with respect to the first positional argument:
W_grad = grad(loss, argnums=0)(W, b)
print(f'{W_grad=}')
# Since argnums=0 is the default, this does the same thing:
W_grad = grad(loss)(W, b)
print(f'{W_grad=}')
# But you can choose different values too, and drop the keyword:
b_grad = grad(loss, 1)(W, b)
print(f'{b_grad=}')
# Including tuple values
W_grad, b_grad = grad(loss, (0, 1))(W, b)
print(f'{W_grad=}')
print(f'{b_grad=}')
W_grad=Array([-0.43314594, -0.7354604 , -1.2598921 ], dtype=float32)
W_grad=Array([-0.43314594, -0.7354604 , -1.2598921 ], dtype=float32)
b_grad=Array(-0.69001764, dtype=float32)
W_grad=Array([-0.43314594, -0.7354604 , -1.2598921 ], dtype=float32)
b_grad=Array(-0.69001764, dtype=float32)
jax.grad()
API 直接对应于 Spivak 经典著作《流形上的微积分》(1965 年)中的优秀符号,也用于 Sussman 和 Wisdom 的《经典力学的结构和解释》(2015 年)及其《泛函微分几何》(2013 年)。这两本书都是开放获取的。特别是请参阅《泛函微分几何》的“序言”部分,以了解对这种符号的辩护。
本质上,当使用 argnums
参数时,如果 f
是用于评估数学函数 \(f\) 的 Python 函数,则 Python 表达式 jax.grad(f, i)
评估为用于评估 \(\partial_i f\) 的 Python 函数。
3. 对嵌套列表、元组和字典求微分#
由于 JAX 的 PyTree 抽象(请参阅使用 PyTrees),对标准 Python 容器求微分可以直接工作,因此可以随意使用元组、列表和字典(以及任意嵌套)。
继续前面的例子
def loss2(params_dict):
preds = predict(params_dict['W'], params_dict['b'], inputs)
label_probs = preds * targets + (1 - preds) * (1 - targets)
return -jnp.sum(jnp.log(label_probs))
print(grad(loss2)({'W': W, 'b': b}))
{'W': Array([-0.43314594, -0.7354604 , -1.2598921 ], dtype=float32), 'b': Array(-0.69001764, dtype=float32)}
你可以创建自定义 PyTree 节点,以便不仅适用于 jax.grad()
,还适用于其他 JAX 变换(jax.jit()
、jax.vmap()
等)。
4. 使用 jax.value_and_grad
评估函数及其梯度#
另一个方便的函数是 jax.value_and_grad()
,用于在一次传递中有效计算函数的值及其梯度的值。
继续前面的例子
loss_value, Wb_grad = jax.value_and_grad(loss, (0, 1))(W, b)
print('loss value', loss_value)
print('loss value', loss(W, b))
loss value 2.9729187
loss value 2.9729187
5. 对照数值差异进行检查#
关于导数的一个优点是,它们很容易用有限差分来检查。
继续前面的例子
# Set a step size for finite differences calculations
eps = 1e-4
# Check b_grad with scalar finite differences
b_grad_numerical = (loss(W, b + eps / 2.) - loss(W, b - eps / 2.)) / eps
print('b_grad_numerical', b_grad_numerical)
print('b_grad_autodiff', grad(loss, 1)(W, b))
# Check W_grad with finite differences in a random direction
key, subkey = jax.random.split(key)
vec = jax.random.normal(subkey, W.shape)
unitvec = vec / jnp.sqrt(jnp.vdot(vec, vec))
W_grad_numerical = (loss(W + eps / 2. * unitvec, b) - loss(W - eps / 2. * unitvec, b)) / eps
print('W_dirderiv_numerical', W_grad_numerical)
print('W_dirderiv_autodiff', jnp.vdot(grad(loss)(W, b), unitvec))
b_grad_numerical -0.6890297
b_grad_autodiff -0.69001764
W_dirderiv_numerical 1.3041496
W_dirderiv_autodiff 1.3006743
JAX 提供了一个简单的便利函数,它基本上做同样的事情,但检查到你喜欢的任何微分阶数
from jax.test_util import check_grads
check_grads(loss, (W, b), order=2) # check up to 2nd order derivatives
后续步骤#
高级自动微分教程提供了更高级和更详细的解释,说明本文档中涵盖的想法如何在 JAX 后端中实现。某些功能,例如JAX 可转换 Python 函数的自定义导数规则,取决于对高级自动微分的理解,因此如果你感兴趣,请务必查看高级自动微分教程中的该部分。