标量预取和块稀疏计算

标量预取与块稀疏计算#

在本教程中，我们将介绍 Pallas 中块稀疏计算的基础知识。稀疏计算是编写自定义 Pallas 内核而非仅仅使用 JAX/XLA 的一个主要原因，因为由于静态数组形状的限制，在 XLA 中表达执行动态计算量的程序通常很困难。在本教程中，我们将学习如何使用 Pallas 的标量预取（scalar prefetch）功能来编写能够动态跳过计算和内存块的块稀疏内核。

import functools
import timeit
import numpy as np
import jax
from jax import numpy as jnp
from jax import lax
from jax.experimental import checkify
from jax.experimental import pallas as pl
from jax.experimental.pallas import tpu as pltpu

assert "TPU" in jax.devices()[0].device_kind, "Please run this notebook with TPU devices."
print("Running on", jax.devices()[0].device_kind)

Running on TPU v5 lite

通过标量预取实现动态块索引#

我们将利用 Pallas 的“标量预取”功能来编写稀疏内核。标量预取允许你在管道启动之前将少量数据加载到 SMEM（“标量内存”）中。由于这些数据在管道启动前就已经加载，因此它们可用于每个 BlockSpec 的 index_map 中，从而允许你执行依赖于数据的索引计算。本教程的主要目标是介绍利用此功能的常见编程模式。

要使用标量预取，请使用 pltpu.PrefetchScalarGridSpec 代替标准的 pl.GridSpec。

class PrefetchScalarGridSpec:
  def __init__(self,
    num_scalar_prefetch: int,
    grid: tuple[int, ...],
    in_specs: PyTree[BlockSpec],
    out_specs: PyTree[BlockSpec],
    scratch_shapes: tuple[MemorySpace, ...]):
      ...

num_scalar_prefetch 参数表示标量预取值的数量。当该值设置为非零值时，它会更改内核和索引映射的调用签名，以期望额外的预取值。传递给 index_map 和内核的预取 Ref 全部在 SMEM 中分配，并且不会被分区为块，因为它们没有定义 BlockSpec。此外，index_map 和内核的参数顺序始终是固定的，具体描述如下：

  • 每个 BlockSpec 的 index_map 现在期望预取 Ref 出现在网格索引之后。

def index_map(*grid_indices, *prefetch_refs):
    ...

  • 用户定义的内核期望预取 Ref 出现在输入 Ref 之前。此外，暂存（scratch）引用位于输出 Ref 之后。

def kernel(*prefetch_refs, *input_refs, *output_refs, *scratch_refs):
    ...

  • 当使用 pallas_call 调用新内核时，pallas_call 返回的函数也期望标量预取参数出现在输入之前，例如：

kernel = pl.pallas_call(...)
result = kernel(*prefetch_args, *input_args)

示例：带标量预取的块动态切片#

让我们从一个演示如何使用标量预取功能的基本示例开始。我们将实现一个块对齐的动态切片内核，它简单地根据用户指定的索引从更大的数组中提取一个块。

  1. 在内核之外，我们计算要提取的块索引为：block_idx = (start[0] // size[0], start[1] // size[1])。

  2. 我们将 block_idx 作为标量预取参数传递给 pallas_call。

  3. 在索引映射中，我们通过返回 (block_idx[0], block_idx[1]) 来使用块索引选择相应的块。

当然，此内核的局限性在于切片大小必须适合内核块（受 VMEM 大小限制），并且我们只能在大小对齐的索引上开始。更高级的内核会将内核块大小与切片大小解耦，并允许非对齐的起始索引。

def dynamic_slice_kernel(indices, x_ref, o_ref):
  del indices
  o_ref[...] = x_ref[...]

@checkify.checkify
@functools.partial(jax.jit, static_argnums=(2,))
def block_dynamic_slice(x, starts, sizes):
  grid_spec = pltpu.PrefetchScalarGridSpec(
      num_scalar_prefetch=1,
      grid=(1, 1),
      in_specs=[pl.BlockSpec(
          sizes,
          lambda i, j, block_idx: (block_idx[0], block_idx[1]))],
      out_specs=pl.BlockSpec(sizes, lambda *_: (0, 0)),
  )

  kernel = pl.pallas_call(
    dynamic_slice_kernel,
    grid_spec=grid_spec,
    out_shape=jax.ShapeDtypeStruct(shape=sizes, dtype=x.dtype),
  )
  # Checkify inserts a runtime assert that starts are divisible by block size.
  checkify.check(starts[0] % sizes[0] == 0, "Starts must be divisible by size.")
  checkify.check(starts[1] % sizes[1] == 0, "Starts must be divisible by size.")
  block_idx = jnp.array([starts[0] // sizes[0], starts[1] // sizes[1]])
  return kernel(block_idx, x)

shape = (512, 512)
x = jnp.reshape(jnp.arange(np.prod(shape), dtype=jnp.int32), shape)
err, result = block_dynamic_slice(x, starts=(128, 256), sizes=(128, 128))
err.throw()
ref = lax.dynamic_slice(x, start_indices=(128, 256), slice_sizes=(128, 128))
diff = jnp.max(jnp.abs(result - ref))
print("Error |result - lax.dynamic_slice| =", diff)

Error |result - lax.dynamic_slice| = 0

稀疏内核：表示稀疏数据#

在我们深入实现稀疏内核之前，先回顾一下稀疏矩阵是如何表示的。虽然有几种流行的稀疏矩阵存储格式，但我们将遵循坐标列表格式 (COO) 的块变体，我们将矩阵存储为 (block_index, block_data) 对的列表。所有未在列表中显式存储的块都被假定为零，这意味着如果有许多零块，我们可以节省大量内存。

下图演示了我们如何将 4x4 稠密矩阵（左）转换为块大小为 2x2 的块 COO 格式（右）。请注意，在稀疏格式中，我们可以避免显式存储全由零元素组成的右上角块。

block_coo

我们将使用以下辅助函数来采样块稀疏矩阵。它返回一个用于检查结果的稠密矩阵，以及每个轴的块数据和索引列表。

def generate_block_sparse_mat(key, M, N, blk_M, blk_N, p=0.2, dtype=jnp.float32):
  """Returns a sampled matrix and its block-sparse representation.

  Args:
    key: RNG Key.
    M: Major array dimension.
    N: Minor array dimension.
    blk_M: Block size along M dimension.
    blk_N: Block size along N dimension.
    p: Probability that a block will be non-zero.
    dtype: dtype of the sampled matrix.

  Returns:
    dense_mat: A (M, N) dense sampled array.
    block_data: A (num_blocks, blk_M, blk_N) array of data blocks representing
      the non-zero blocks of the matrix.
    indices_i: A (num_blocks,) array of block indices for the first axis.
    indices_j: A (num_blocks,) array of block indices for the second axis.
  """
  mask_key, blocks_key = jax.random.split(key)
  num_blocks = (M // blk_M, N // blk_N)
  # We first sample a block mask, denoting which blocks are nonzero.
  block_mask = jax.random.bernoulli(mask_key, p=p, shape=num_blocks)
  num_blocks = jnp.sum(block_mask)
  indices = jnp.where(block_mask)
  # For each non-zero block, we sample a block of random values.
  block_data = jax.random.uniform(blocks_key,
                                  shape=(num_blocks, blk_M, blk_N),
                                  dtype=dtype)
  # For checking purposes, create the dense version of the sparse matrix.
  dense_mat = jnp.zeros((M, N), dtype=dtype)
  for blk in range(num_blocks):
    idx_i = indices[0][blk]
    idx_j = indices[1][blk]
    slice_i = slice(idx_i * blk_M, (idx_i + 1) * blk_M)
    slice_j = slice(idx_j * blk_N, (idx_j + 1) * blk_N)
    dense_mat = dense_mat.at[slice_i, slice_j].set(block_data[blk])
  return dense_mat, block_data, indices[0], indices[1]

示例：稀疏 @ 稠密矩阵乘法#

在第一个示例中，我们将一个稀疏 LHS 矩阵与一个稠密 RHS 矩阵相乘，生成一个稠密输出。

我们将构建一个包含 2 个循环的内核网格——外层循环遍历 RHS/输出的列，内层循环遍历 LHS 的稀疏块。在每次内循环迭代期间，我们从 LHS 加载一个块，并使用收缩维度 (K) 的块索引在 RHS 中查找相应的块。我们将这两个块相乘并累加到正确的输出块中。一次外循环迭代将计算一整列的结果，如下图所示：

sparse_matmul

重要的是，在将块索引传递给内核之前，我们必须按行对它们进行分组（例如 [0, 0, 1, 2, 3, 3]），原因有二。首先，在内核中我们需要知道何时在输出 ref 中对累加器进行初始置零，如果行索引是分组的，这就很容易实现。其次，Pallas 的流水线逻辑不允许我们在非连续迭代中重新访问输出 Ref 中的块，因此我们需要在连续的内核迭代中完成对一个输出块的所有累加。这是因为流水线发射器会意识到我们在连续迭代中加载同一个输出块，并将该块保留在 VMEM 中。当我们更改输出块时，Pallas 最终会将输出存储到 HBM 中并假设我们再也不会触碰它。如果未能连续访问输出块，即使内核在逻辑上是正确的，也会导致结果不正确。

M = N = K = 16384
blk_M = blk_N = blk_K = 512


def dsd_kernel(idxs_i_ref, idxs_k_ref, # Scalar prefetch inputs.
               x_ref, y_ref, _, o_ref, # Kernel inputs.
               accum_scratch,
               ):
  """A DSD (Dense = Sparse @ Dense) matmul kernel."""
  del idxs_k_ref
  blk_idx = pl.program_id(1)
  is_start = blk_idx == 0
  changed_blocks = (idxs_i_ref[blk_idx] != idxs_i_ref[jnp.maximum(blk_idx-1, 0)])
  @pl.when(is_start | changed_blocks)
  def _():
    accum_scratch[...] = jnp.zeros_like(accum_scratch)
  accum_scratch[...] += jnp.dot(x_ref[0, :, :], y_ref[...], preferred_element_type=jnp.float32)

  next_block_change = (idxs_i_ref[blk_idx] != idxs_i_ref[jnp.minimum(blk_idx+1, num_blocks)])
  is_end = blk_idx == (num_blocks - 1)
  @pl.when(is_end | next_block_change)
  def _():
    o_ref[...] = accum_scratch[...].astype(o_ref.dtype)


def x_map(j, blk_idx, blk_idxs_i, blk_idxs_k):
  del j, blk_idxs_i, blk_idxs_k
  return (blk_idx, 0, 0)
def y_map(j, blk_idx, blk_idxs_i, blk_idxs_k):
  del blk_idxs_i
  return (blk_idxs_k[blk_idx], j)
def o_map(j, blk_idx, blk_idxs_i, blk_idxs_k):
  del blk_idxs_k
  return (blk_idxs_i[blk_idx], j)

(X_dense, X_blocks, indices_i, indices_k) = generate_block_sparse_mat(
    jax.random.key(0), M, K, blk_M, blk_K, p=0.1, dtype=jnp.bfloat16)
num_blocks = X_blocks.shape[0]
Y = jax.random.uniform(jax.random.key(1), shape=(K, N), dtype=jnp.bfloat16)
zeros = jnp.zeros((M, N), dtype=jnp.bfloat16)
out_shape = jax.ShapeDtypeStruct((M, N), dtype=jnp.bfloat16)

grid_spec = pltpu.PrefetchScalarGridSpec(
    num_scalar_prefetch=2,
    # Note that while num_blocks is static here, Pallas does support
    # dynamic grid sizes.
    grid=(N // blk_N, num_blocks),
    in_specs=[pl.BlockSpec((1, blk_M, blk_K), x_map),
              pl.BlockSpec((blk_K, blk_N), y_map),
              # Placeholder for a zeros-array used by input_output_aliases.
              pl.BlockSpec((blk_M, blk_N), o_map),
              ],
    out_specs=pl.BlockSpec((blk_M, blk_N), o_map),
    scratch_shapes=[pltpu.VMEM((blk_M, blk_N), dtype=jnp.float32)]
)
kernel = pl.pallas_call(
  dsd_kernel,
  grid_spec=grid_spec,
  out_shape=out_shape,
  # We use input-output aliases to zero-out o_ref for blocks that we never
  # visit. By passing in an array of zeros we avoid having o_ref start with
  # uninitialized values.
  input_output_aliases={4: 0},  # Map zeros to o_ref.
)
args = (indices_i, indices_k, X_blocks, Y, zeros)
result = kernel(*args)

ref = X_dense @ Y
diff = jnp.abs(ref - result)
print('mean |result - ref|:', jnp.mean(diff))

mean |result - ref|: 0

我们可以进行快速基准测试，比较稀疏内核与 JAX 中稠密矩阵乘法的性能。在 TPU v5e 芯片上，与稀疏性带来的理论 10 倍加速相比，该内核实现了约 6 倍的提速。

这里有几个主要的性能优化提示，主要集中在减少 HBM/VMEM 之间的通信开销上：

  • 使用 dtype=jnp.bfloat16 对性能至关重要，因为它能将内存带宽需求减少一半。

  • 使用更大的块大小也有帮助，因为矩阵乘法是一个 \(O(N^3)\) 的计算和 \(O(N^2)\) 的内存操作。随着 \(N\) 的增大，内核变得受计算限制。然而，实际中的一个反面论点是，较小的块大小也能使数据变得更稀疏，因此这是一个需要仔细选择的参数。

# Benchmark Sparse Pallas kernel vs reference JAX implementation

def benchmark(f, ntrials: int = 100):
  def run(*args, **kwargs):
    # Compile function first
    jax.block_until_ready(f(*args, **kwargs))
    # Time function
    result = timeit.timeit(lambda: jax.block_until_ready(f(*args, **kwargs)),
                           number=ntrials)
    time = result / ntrials
    return time
  return run


n_trials = 100

pallas_impl = lambda *args: kernel(*args)
time = benchmark(pallas_impl, n_trials)(indices_i, indices_k, X_blocks, Y, zeros)
print("Sparse Kernel: %.3f ms (avg over %d trials)" % (time * 1000, n_trials))

ref_impl = jax.jit(lambda x, y: x @ y)
time = benchmark(ref_impl, n_trials)(X_dense, Y)
print("Reference: %.3f ms (avg over %d trials)" % (time * 1000, n_trials))

Sparse Kernel: 8.136 ms (avg over 100 trials)
Reference: 46.953 ms (avg over 100 trials)

稠密数据上的稀疏访问模式#

在之前的示例中，我们考虑了数据本身是稀疏的情况。这在内核结构中表现为内核网格中的一个维度是动态的，并循环遍历非零块的数量 (num_blocks)。

当底层数据是稠密的，但我们希望对其执行稀疏计算时，会出现第二种有用的编程模式。在这种情况下，我们的内核网格是稠密的，但我们希望跳过网格中的某些块，由块稀疏掩码指示。这种编程模式常见于许多机器学习应用中，例如自注意力机制中的因果掩码或局部掩码。在这些情况下，我们可以完全跳过掩码为零的块的计算。这种编程模式的示例可以在 jax/experimental/pallas/ops/tpu 中的 Splash Attention 和 Grouped Matrix Multiplication 内核中找到，或者在 PyTorch 的 FlexAttention 中找到。

处理稠密数据上的稀疏访问模式时，主要性能考量是与流水线操作的交互。在任何给定的内核迭代中，Pallas 流水线发射器都会尝试通过为每个 BlockSpec 调用 index_map 来预取下一块数据。然而，如果我们的计算是稀疏的，我们可能会跳过网格中下一个块的计算，因此我们需要某种方法来告诉流水线开始获取我们要处理的下一个未跳过的块。为了做到这一点，我们需要构建预取映射（prefetch maps），其中包含每个内核输入的下一个非跳过数据块的索引。下图说明了如何为以类似 COO 格式存储的块稀疏掩码构建预取映射。

prefetch_map

左：稀疏访问模式，蓝色表示我们需要计算的非零掩码块。右：预取映射，数组的每个元素包含下一个非零块数据的索引。

一旦构建了预取映射，我们就可以将其作为标量预取参数传递，并在 BlockSpec 的 index_map 函数中进行查询。

def mask_index_map(prefetch_map, i, j, ...):
  next_nonzero_block = prefetch_map[i, j]
  return (next_nonzero_block, 0, 0)

我们可以为内核的其他输入构建类似的索引映射。对于稠密输入，你很可能需要构建预取映射，指向网格中下一个非零块索引。下一个示例将提供使用这些预取映射的实例。

示例：带块稀疏输出掩码的稠密 @ 稠密矩阵乘法#

在下一个示例中，我们将介绍与稀疏输出掩码融合的稠密矩阵乘法，并使用预取映射来提高流水线性能。我们将使用掩码选择性地跳过计算置零的输出块，从而节省计算成本。

由于我们将使用稀疏掩码，首先要实现一个函数，将存储在稠密格式中的 N x M 掩码转换为块稀疏格式。此外，我们需要计算预取映射以帮助流水线发射器知道下一个要获取的块。总的来说，我们的 sparsify_mask 函数会计算：

  • 形状为 (num_N_blocks, num_M_blocks) 的 block_mask，指示块是否全为零（值 0）或包含非零元素（值 1）。如果 block_mask 的值为 0，我们可以跳过内核中的块计算。

  • 形状为 (num_N_blocks, num_M_blocks) 的 prefetch_mask 数组，由指向 mask_data 中下一个非零块的索引组成。

  • 形状为 (num_N_blocks, num_M_blocks) 的 prefetch_i 数组，由掩码的下一个非掩码 i 索引组成。

  • 形状为 (num_N_blocks, num_M_blocks) 的 prefetch_j 数组，由掩码的下一个非掩码 j 索引组成。

  • 形状为 (num_blocks, blk_N, blk_M) 的 mask_data 数组，包含掩码的非零块数据。

def sparsify_mask(mask: jax.Array,
                  block_shape: tuple[int, int]):
  """Preprocesses a mask into a sparse representation.

  Args:
    mask: A boolean array of shape [M, N]
    block_shape: The size of a single block.

  Returns:
    block_mask: A block_shape array of booleans indicating whether a block
      is all-zeros (0) or contains non-zero elements (1).
    prefetch_mask: A block_shape array of integers indicating the index of the
      next non-zero block.
    mask_data: A (num_blocks, block_shape) array containing
      the data for non-zero blocks of the mask.
  """
  M, N = mask.shape
  bm, bn = block_shape

  block_mask = jnp.zeros((M // bm, N // bn), dtype=mask.dtype)
  mask_types_finder = []
  mask_data = []

  next_mask_type_idx = 0
  prefetch_mask = jnp.zeros_like(block_mask)
  next_i = (M // bm) - 1
  next_j = (N // bn) - 1
  prefetch_i = jnp.zeros_like(block_mask)
  prefetch_j = jnp.zeros_like(block_mask)
  for i in range(M // bm, -1, -1):
    for j in range(N // bn, -1, -1):
      mask_block = mask[i * bm :(i + 1) * bm,
                        j * bn :(j + 1) * bn]
      is_nonzero = jnp.any(mask_block)
      if is_nonzero:
        try:
          type_index = mask_types_finder.index(str(mask_block))
        except ValueError:
          type_index = len(mask_types_finder)
          mask_types_finder.append(str(mask_block))
          mask_data.append(mask_block)
        next_mask_type_idx = type_index
        next_i = i
        next_j = j
      else:
        type_index = -1
      block_mask = block_mask.at[i, j].set(is_nonzero)
      prefetch_mask = prefetch_mask.at[i, j].set(next_mask_type_idx)
      prefetch_i = prefetch_i.at[i, j].set(next_i)
      prefetch_j = prefetch_j.at[i, j].set(next_j)
  return block_mask, prefetch_mask, prefetch_i, prefetch_j, jnp.stack(mask_data)

就内核结构而言，我们使用与之前教程中介绍的标准矩阵乘法内核相同的网格模式，即对 N、M 和 K 维度进行 3 层循环。在内核内部，我们首先检查 block_mask，看看当前输出块的掩码是否全为零。如果掩码全为零，我们可以跳过计算并转到下一个块；否则，我们需要执行矩阵乘法，然后对结果进行掩码处理。

M = N = K = 16384
blk_M = blk_N = 512
blk_K = 1024

def sparse_mask_matmul(
    block_mask_ref, prefetch_mask, prefetch_i, prefetch_j, # Scalar prefetch inputs.
    x_ref, y_ref, mask_ref, o_ref,  # Kernel inputs.
    accum_scratch
    ):
  del prefetch_mask, prefetch_i, prefetch_j
  i, j, k = pl.program_id(0), pl.program_id(1), pl.program_id(2)
  should_compute = block_mask_ref[i, j] != 0
  @pl.when(k == 0)
  def _():
    o_ref[...] = jnp.zeros_like(o_ref)
    accum_scratch[...] = jnp.zeros_like(accum_scratch[...])

  # We only compute the output for blocks with non-zero masks.
  # Otherwise we skip the computation entirely.
  @pl.when(should_compute)
  def _():
    result = jnp.dot(x_ref[...], y_ref[...], preferred_element_type=jnp.float32)
    accum_scratch[...] += result
    @pl.when(k == pl.num_programs(2) - 1)
    def _():
      o_ref[...] = (mask_ref[0, ...] * accum_scratch[...]).astype(o_ref.dtype)

X = jax.random.normal(jax.random.key(0), shape=(M, K), dtype=jnp.bfloat16)
Y = jax.random.normal(jax.random.key(1), shape=(K, N), dtype=jnp.bfloat16)
mask = jnp.ones((M, N), dtype=jnp.int32)
mask = jnp.tril(mask)
block_mask, prefetch_mask, prefetch_i, prefetch_j, sparse_mask_data = sparsify_mask(mask, (blk_M, blk_N))

def x_map(i, j, k, block_mask, prefetch_mask, prefetch_i, prefetch_j):
  del prefetch_mask, prefetch_j
  # Zero-out the k index if the mask is zero, to avoid constantly fetching
  # new blocks in the inner loop for blocks we are skipping.
  k_fetch = (block_mask[i, j] != 0) * k
  return (prefetch_i[i, j], k_fetch)

def y_map(i, j, k, block_mask, prefetch_mask, prefetch_i, prefetch_j):
  del prefetch_mask, prefetch_i
  k_fetch = (block_mask[i, j] != 0) * k
  return (k_fetch, prefetch_j[i, j])

def mask_map(i, j, k, block_mask, prefetch_mask, *_):
  del k, block_mask
  return (prefetch_mask[i, j], 0, 0)

def o_map(i, j, k, *_):
  del k
  return (i, j)

grid_spec = pltpu.PrefetchScalarGridSpec(
    num_scalar_prefetch=4,
    grid=(M // blk_M, N // blk_N, K // blk_K),
    in_specs=[pl.BlockSpec((blk_M, blk_K), x_map),
              pl.BlockSpec((blk_K, blk_N), y_map),
              pl.BlockSpec((1, blk_M, blk_N), mask_map)],
    out_specs=pl.BlockSpec((blk_M, blk_N), o_map),
    scratch_shapes=[pltpu.VMEM((blk_M, blk_N), dtype=jnp.float32)]
)
kernel = pl.pallas_call(
  sparse_mask_matmul,
  grid_spec=grid_spec,
  out_shape=jax.ShapeDtypeStruct((M, N), jnp.bfloat16),
)
args = (block_mask, prefetch_mask, prefetch_i, prefetch_j, X, Y, sparse_mask_data)
result = kernel(*args)

ref = mask * (X @ Y)
diff = jnp.abs(ref - result)
print('mean |result - ref|:', jnp.mean(diff))

mean |result - ref|: 1.0252e-05

现在让我们将性能与朴素的稠密实现进行比较。在 TPU v5e 上，使用稀疏内核可实现约 1.8 倍的提速，相比之下，使用下三角掩码且仅访问一半可能输出的理论最佳情况为 2 倍。

随着输入规模的增加，我们通常期望性能更接近理论峰值，因为未能达到理论性能的几个主要原因是：

  • 我们跳过的计算略少于一半，因为沿对角线的块混合了 0 和 1，对于混合块，我们需要计算整个块。随着输入规模的增加，混合块的开销相对于总体计算变得更小。

  • 随着输入规模增加，流水线气泡（pipeline bubble）在总运行时间中所占的百分比也会降低。

n_trials = 100

pallas_impl = lambda *args: kernel(*args)
time = benchmark(pallas_impl, n_trials)(block_mask, prefetch_mask, prefetch_i, prefetch_j, X, Y, sparse_mask_data)
print("Sparse Kernel: %.3f ms (avg over %d trials)" % (time * 1000, n_trials))

ref_impl = jax.jit(lambda mask, x, y: mask * (x @ y))
time = benchmark(ref_impl, n_trials)(mask, X, Y)
print("Reference: %.3f ms (avg over %d trials)" % (time * 1000, n_trials))

Sparse Kernel: 28.648 ms (avg over 100 trials)
Reference: 49.988 ms (avg over 100 trials)